syaty_48T’s blog

迷走の話

この記事はNITKC ProLab Advent Calendar 2020 - Adventarの4日目の記事として15日目に書かれているものです。えぇ…

お詫び

アドカレに書くネタが思いつかず10日以上遅れての投稿となります。

すまんかった。

4つ5つくらいネタは思いついたのですが、途中で書くのをやめてしまい結局今日まで遅れてしまいました。

そのネタたちについては気が向いたら後日供養しようと思います。

本題

というわけで今回も数学の話をしようと思います。

今回は先日Misskeyに投稿した問題群について解説をしていけたらなあと思います。

というわけで早速問題を見ていきましょう。

$2020/10/5\;17:02:27\;出題$

$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2} \left(-\frac{1}{x}\right)\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x}\right)^2}\cos\left\{\left(-\frac{1}{x}\right)^{-1}+\arctan\left(-\frac{1}{x}\right)\right\}dx$

$2020/10/20\;20:31:29\;出題$

$\displaystyle\int_3^{x^2+x+1} f(t)dt=x^3(x+1)^3+\alpha$

$(1)\;\alphaを求めよ。$

$(2)\;f(t)を求めよ。$

解きたい方は一旦読むのを中断していただいて構いません。

１つ目は三角関数をちゃんと理解しているかが肝要となってくる問題です。

２つ目は高専数学では習わない積分方程式の問題となっています。

手を実際に動かし考えながら読むことでより実践的な学習ができると思いますので、ぜひお試しください。

１つ目の解説

$\displaystyle t=-\frac{1}{x}$ と置きたくなるように作りましたが、恐らく遠回りになってしまうと思います。

まずは $\arctan x$ が奇関数、 $\cos x$ が偶関数であることを活用しつつ式を整理していきましょう。

$\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{2} \left(-\frac{1}{x}\right)\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x}\right)^2}\cos\left\{\left(-\frac{1}{x}\right)^{-1}+\arctan\left(-\frac{1}{x}\right)\right\}dx$

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2} -\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\cos{\left(-x-\arctan{\frac{1}{x}}\right)}dx$

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2} -\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\cos{\left(x+\arctan{\frac{1}{x}}\right)}dx$

ここで加法定理より

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2} -\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\left(\cos x\cos\arctan\frac{1}{x}-\sin x\sin\arctan\frac{1}{x}\right)dx$

ここで数学の授業をあまり真面目に聞いてこなかった一部の高専生(チクチク言葉)は死んでしまったのではないかと思います。

三角関数についてちゃんと理解してないと $sin$ や $cos$ の中に逆三角関数が入ったものを処理しきれないからです。

それでは $\displaystyle\arctan\frac{1}{x}$ がどのような角度なのかを三角形を使って見ていきましょう。

f:id:syaty_48T:20201215123924j:plain

このように三角形で図示すれば逆三角関数も処理しやすくなりますね！

では引き続き式展開をしていきましょう。

上の図より、 $\displaystyle\cos\arctan\frac{1}{x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}、\sin\arctan\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ なので、さらに式を展開していきます。

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cos x-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\sin x\right)dx$

積分範囲が $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ であることから $x=\sqrt{x^2}$ となることを活用して、

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x^2}\sqrt{1+x^2}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\cos x-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\sin x\right)dx$

$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x^2}\left(x\cos x-\sin x\right)dx$

となります。ここで、 $x=0$ のときに被積分関数がヤバいことになりそうだと気づけるかと思います。

なので広義積分を用いましょう。

$\displaystyle =\lim_{\varepsilon \to +0}\int_\varepsilon^\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x^2}\left(x\cos x-\sin x\right)dx$

$\displaystyle =\lim_{\varepsilon \to +0}\left[-\frac{\sin x}{x}\right]^\frac{\pi}{2}_\varepsilon$

最後の積分に関しては、 $\displaystyle\frac{\sin x}{x^2}$ を部分積分することで $\displaystyle\int\frac{\cos x}{x}dx$ を打ち消すことができます。

あとは $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ より、

$\displaystyle =-\left(\frac{2}{\pi}-1\right)=1-\frac{2}{\pi}$

となります。

２つ目の解説

まずは簡単な $(1)$ の解説からしていきます。

ある積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ について、 $f(x)$ を積分したものを $F(x)$ と置くと $\displaystyle F(b)-F(a)$ となりますよね。

ここで $a=b$ のとき、答えが $0$ となることに注目します。

$x^2+x+1=3$ を $x$ について解くと、 $x=1,-2$ となるので問題に $x=1$ を代入すると、

$0=1^3(1+1)^3+\alpha$

となります。 $(1)$ の答えは $\alpha=-8$ です。

つづいて $(2)$ を解いていきましょう。

問題に $\displaystyle\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$ を適用すると、

$F(x^2+x+1)-F(3)=x^3(x+1)^3-8$

となります。積分方程式では、積分範囲に変数が入っていなければ積分項をまるまる定数とおいて解きますが、変数が入っている場合は上のような式にもっていってから両辺を微分することで解くことができます。

では早速微分していきましょう。合成関数の微分則に注意しながら解いていきます。

$(x^2+x+1)'f(x^2+x+1)-3'f(3)=6x^5+15x^4+12x^3+3x^2$

$(2x+1)f(x^2+x+1)=3(2x^5+5x^4+4x^3+x^2)$

$f(x^2+x+1)=3(x^4+2x^3+x^2)$

乗数を比較すると、 $f(t)$ は二次関数であると推測できるので $f(t)=at^2+bt+c$ と置いて係数比較を行いましょう。

$(2)$ の答えは $f(t)=3(t-1)^2$ となります。

最後に

この間スプラトゥーンしてたら味方が途中で放置しだして勝ち試合をふいにされました。

迷惑行為をする人は死刑にしてほしいです。